【自考复习资料】2020年江苏自考线性代数(经管类)笔记整理：向量组的极大无关组和向量组的秩

【自考复习资料】2020年江苏自考线性代数(经管类)笔记整理：向量组的极大无关组和向量组的秩

线性代数是许多理工科专业会考查到的科目，这门科目对于大多数考生来说有一定的难度，下面江苏自考网就把该科目需要重点复习的公式和定义提炼出来，供考生们参考。
 

1.向量组等价的概念

若向量组S可以由向量组R线性表出，向量组R也可以由向量组S线性表出，则称这两个向量组等价.
 

2.向量组的极大无关组

设T为一个向量组，若存在T的一个部分组S，它是线性无关的，且T中任一个向量都能由S线性表示，则称部分向量组S为T的一个极大无关组.

显然，线性无关向量组的极大无关组就是其本身.

对于线性相关的向量组，一般地，它的极大无关组不是唯一的，但有以下性质：

定理1 向量组T与它的任一个极大无关组等价，因而T的任意两个极大无关组等价.

定理2 向量组T的任意两个极大无关组所含向量的个数相同.

3.向量组的秩与矩阵的秩的关系

把向量组T的任意一个极大无关组中的所含向量的个数称为向量组T的秩.

把矩阵A的行向量组的秩，称为A的行秩，把A的列向量组的秩称为A的列秩.

定理：对任一个矩阵A，A的列秩=A的行秩=秩(A)

此定理说明，对于给定的向量组，可以按照列构造一个矩阵A，然后用矩阵的初等行变换法来求出向量组的秩和极大无关组.

例3 求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出：